신기한 나무 뿌리 '수학'을?

신기한 나무 뿌리 '수학'을?

지난 일요일 설악산을 다녀 오면서 소청과 희운각 사이에 있는 등산로 곁에서 그림과 같이 '수학'을 잘 할 것 같은 신기한 나무뿌리를 만나게 되었습니다. 연리지나 연리목과 같은 나무들은 봤지만 나무가 이렇듯 도형을 만든 모습은 처음봤고 그 모습을 보는 순간 '피타고라스의 정리'를 떠 올렸습니다. 피타고라스의 정리를 처음 접했을 때 내 머리속은 복잡하게 햇갈리면서 금방 이해를 하지 못했던 경험이 있었던 것인데,
 
이 나무의 뿌리는 왜 그렇게 복잡하고( 내 머리 기준 ^^) 재미없는 도형을 들고 있는 것인지?... ^^

보통의 너무뿌리와 달리 기형적인 모습을 하고 있는 이 나무 뿌리가 어떻게 이런 모습으로 자랐는지 모르겠지만 불필요한 상상력을 대비해 보면 '수학을 공부하는 나무'라 할까요? 정확히 말하면 고대 그리스의 수학자 '피타고라스'가 라고 정리한 '피타고라스의 정리'를 말하는 것 처럼 직각 삼각형을 만들고 있군요.  그래서 머리도 식힐 겸(?) 피타고라스의 정리를 응용한 다양한 증명법을 옮겨 봤습니다. ^^

그러고 보니 정말 다시 이런 공부를 하면서 학창시절을 보낸다고 하니 군대생활 만큼이나 끔찍 합니다. 피타고라스의 정리는 아무리 잘 '정리'돼도 사회생활에서 써 먹을 곳이 한번도 없었거든요. 다만, 사회현상에 대한 서양의 논리적이고 실용적인 사고라는 것 밖에 말이죠. 피타고라스의 정리 한번 보실래요?...ㅜㅜ ^^

 

피타고라스의 정리 다음 그림과 같이 직각삼각형의 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 라 하고, 빗변의 길이를 라 하면 이다. 이 정리를 처음으로 증명한 사람은 고대 그리스의 수학자인 피타고라스이다. 따라서 그의 이름을 따서 이 정리를 피타고라스의 정리라고 한다. ◀◀ 참고 피타고라스의 정리를 이용하면 직각삼각형에서 두 변의 길이를 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 즉 위의 그림과 같은 직각삼각형에서 이다. ◀◀ 보기 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이가 각각 일 때, 빗변의 길이는 직각삼각형에서 직각을 낀 한 변의 길이가 , 빗변의 길이가 일 때, 직각을 낀 또 다른 한 변의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 직각삼각형 에서 일 때, 의 길이는 피타고라스의 정리의 증명 다음 그림과 같은 직각삼각형 에서 두 변 를 연장하여 를 한 변의 길이로 하는 정사각형 를 만들면, 정사각형 를 서로 합동인 네 개의 삼각형 와 한 개의 정사각형 로 나눌 수 있다. □ □ 이므로 이것을 계산하여 정리하면 ◀◀ 보기 다음 그림과 같은 직각삼각형 에서 이 성립함을 증명해 보자. 모눈 하나의 가로와 세로의 길이를 각각 이라고 하면 이다. ㉮ 한편, 를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는 다음 그림에서 ㉯ ㉮, ㉯에서 삼각형의 닮음을 이용하여 피타고라스의 정리를 증명해 보자. 다음 그림과 같은 직각삼각형 의 꼭지점 에서 빗변 에 내린 수선의 발을 라 하자. 와 에서 (공통) ∽ 와 에서 (공통) ∽ 따라서 이므로 이 두 식을 변끼리 더하면 ㉮ 위의 그림에서 이므로 이것을 ㉮에 대입하면 다음 그림은 합동인 개의 직각삼각형을 맞추어 한 변의 길이가 인 정사각형을 만든 것이다. 이 그림을 이용하여 피타고라스의 정리를 증명해 보자. 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이는, 서로 합동인 개의 직각삼각형의 넓이와 한 변의 길이가 인 정사각형의 넓이의 합과 같다. 즉 이므로 다음 그림과 같이 직각삼각형 의 바깥쪽에 한 변을 각각 로 하는 세 개의 정사각형을 만든다. 다음에 점 로부터 에 그은 수선 이 와 만나는 점을 이라 하고, 점 와 점 , 점 와 점 를 잇는다. 이제 이 그림에서 이 성립함을 증명해 보자. 와 에서 (∵□ 는 정사각형) (∵□ 는 정사각형) ( 합동) ㉮ 와 에서 높이가 같고 밑변 가 공통이므로 = ㉯ 또 와 에서 높이가 같고 밑변 가 공통이므로 = ㉰ ㉮, ㉯, ㉰에서 □ □ ㉱ 마찬가지 방법으로 와 를 생각하면 □ □ ㉲ ㉱, ㉲에 의하여 □ □ □                = □ □ 합동인 두 삼각형 를 다음 그림과 같이 붙여 놓았다. 가 직각이등변삼각형이 됨을 밝혀, 이것과 사다리꼴의 넓이를 이용하여 임을 증명해 보자. 이므로 ㉮ (대응각) ㉯ ㉮, ㉯에서 는 직각이등변삼각형이다. 또, □ 이고 □ 이므로 삼각형의 각의 크기에 대한 변의 길이 삼각형 에서 의 크기를 다음 그림과 같이 세 가지로 나눌 수 있다.   인 경우 피타고라스의 정리에 의해서 인 경우 다음 그림과 같이 의 꼭지점 에서 의 연장선에 내린 수선의 발을 라 하고, 로 놓자. 와 는 모두 직각삼각형이고, 피타고라스의 정리에 의하여 다음 식이 성립한다. ㉮ ㉯ ㉮와 ㉯에서 를 소거하기 위하여 ㉮ －㉯를 하면 이를 간단히 하면 그런데 이므로 인 경우 다음 그림과 같이 의 꼭지점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하고, 라 하자. 직각삼각형 와 에서 피타고라스의 정리에 의하여 ㉮ ㉯ ㉮와 ㉯에서 를 소거하기 위하여 ㉮ － ㉯를 하면 이를 간단히 하면 그런데 이므로 이상을 정리하면 다음과 같은 삼각형의 각에 대한 변의 관계를 얻을 수 있다. 에서 이면 이면 이면 ◀◀ 보기 (1) 다음 그림과 같은 에서 의 값의 범위를 구해 보자. 가 예각이므로 그런데 는 변의 길이이므로 이다. ㉮ 한편, 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다는 크고 합보다는 작아야 하므로 ㉯ ㉮, ㉯에서 (2) 직각삼각형의 세 변의 길이가 일 때, 이 삼각형의 세 변의 길이를 구해 보자. 가 빗변의 길이가 되므로 이므로 따라서 주어진 삼각형의 세 변의 길이는 각각 이다. (3) 다음 그림과 같은 삼각형 에서 의 범위를 구해 보자. (단, ) 이므로 인 에서 세 변의 길이가 일 때, 의 값의 범위를 구해 보자. (단, 는 의 대변) 이므로 이므로 ㉮ 또 삼각형의 한 변의 길이는 다른 두 변의 길이의 차보다는 크고 합보다는 작아야 하므로 ㉯ ㉮, ㉯에서 (5) 다음 그림과 같이 가 둔각삼각형일 때, 의 값의 범위를 구해 보자. 이므로 이므로 자료출처 http://cafe.daum.net/Studypoint

피타고라스 학파는 수학외에도 음악에도 그 방법을 적용하여 피타고라스 음계라는 것을 만들었는데  "길이가 1인 줄을 울려서 소리를 내고 처음 길이의 3분의 2인 줄을 울리면 처음의 소리보다 5도 높은 소리가 되고, 처음 길이의 2분의 1인 줄을 울리면 8도 높은 소리가 난다"는 것을 발견했다는데,

 오늘날 이것을 기초로 만든 음계가 '피타고라스 음계'라고 하니 무슨 현상이든 수학을 응용하는 모습은 수학을 잘 못하는 나로써는 대략남감하여 이 신기한 나무뿌리를 보는 순간 내 머리속은 복잡하게  얽히고 있었습니다. 지금 이 순간까지 피타고라스의 정리를 외고 있거나 실생활에 응용하고 있는 분들은 몇이나 될까요? ^^


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